Эйлеров цикл — различия между версиями

Версия 15:22, 5 декабря 2005

Эйлеровым путем в графе называется произвольный путь, проходящий через каждое ребро графа в точности один раз.

Замкнутый эйлеров путь называется эйлеровым обходом или эйлеровым циклом.

Эйлеров граф — граф, в котором существует эйлеров обход.

Критерий эйлеровости графа: «Эйлеров обход в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и все его вершины четной степени».

Нахождение эйлерова цикла можно выполнить эффективно, с помощью нижепредставленного алгоритма, основная идея которого содержиться в построении произвольных замкнутых циклов (если вы окажетесь в эйлеровом графе, и будете идти произвольно по его ребрам, сжигая их после своего прохода, то рано или поздно вы вернетесь в точку старта), и обьединении таких циклов в единый эйлеров цикл.

 def euler_circuit(G):
    EP=[]  # Эйлеров цикл - массив вершин.
 
    #возвращает локальный замкнутый цикл    
    def euler(v):
        cycle={}
        while (G.degree(v)>0):  #пока не оказались в "безвыходной" вершине
            w=G.neighbors(v)[0] # берем $w$ --- первого попавшегося "соседа" $v$ 
            cycle[v]=w          # записываем ребро $(v,w)$ в $cycle$ и стираем его из графа
            G.delete_edge(v,w)
            v=w                 # повторяем все с вершиной $w$
        return cycle    
 
    # добавляет цикл к эйлерову пути
    def add_cycle():        
        print EP,"+",
        if len(EP)>0: # ищем вершину, к которой можно добавить цикл
            for i in range(0,len(EP)):
                if G.degree(EP[i])>0:
                    v=EP[i]
                    break
        else: # Подготавливаем пока пустой EP к присоединению цикла 
            v=G.nodes()[0] # выбираем первую попавшуюся вершину
            EP.append(v)   # и добавляем ее в EP
            i=0    
        c=euler(v)
        print c,"-->",    
        while c: # пока не перенесли все содержимое цикла   
            i=i+1; EP.insert(i,c[v]) #вставляем очередную вершину в EP        
            w=c[v] #переходим к следующей
            del c[v] #удаляя из цикла вставленную.
            v=w
        print EP
 
 
    #Проверка, необходимых и достаточных условий существования
    for v in G.nodes(): 
        if (G.degree(v) % 2)<>0: print "No Euler path!"; return
 
    while (G.number_of_edges()>0):
        add_cycle()          # добавляем цикл к эйлерову пути
 
    print EP
    return EP

[] + {0: 1, 1: 2, 2: 3, 3: 4, 4: 0} --> [0, 1, 2, 3, 4, 0]
[0, 1, 2, 3, 4, 0] + {1: 4, 4: 1} --> [0, 1, 4, 1, 2, 3, 4, 0]
[0, 1, 4, 1, 2, 3, 4, 0]