Алгоритм Флойда-Уоршолла — различия между версиями

Версия 18:34, 22 октября 2008

Алгоритм Флойда-Уоршолла (Floyd-Warshall) предназначен для решения задачи Поиск кратчайших путей в графе. В отличие от алгоритма Дейкстры, он находит все кратчайшие пути в графе, к тому же, допускает наличие отрицательных весов (расстояний) на ребрах графа, при условии, что в графе не образуется циклов отрицательной длины (т. е. невозможно бесконечно уменьшать расстояние между некоторыми пунктами).

В этом алгоритме, для графа последовательно выполняются итераций, улучшая матрицу минимальных стоимостей пути из вершины i в вершину j, с возможным использованием (для k-той итерации) промежуточных вершин из множества . Вычислять эту матрицу очень легко, изначально она определяется весовой функцией ребер, , для тех i и j, для которых есть ребро (i,j), и для остальных. Обновление этой матрицы на k-той итерации происходит по очевидной формуле: , где — значение этой матрицы на предыдущей итерации. Таким образом, очевидна и корректность алгоритма, и его сложность, состовляющая .

def floyd_warshal(D):
    N=D.shape[0]  
    print_frame(D)                
    for k in xrange(N):
        #Сохраняем $D_{k-1}$ в $D_{old}$
        D_old=array(D)              
        for v1 in xrange(N):
            for v2 in xrange (N):
                D[v1,v2]=min( D[v1,v2], D_old[v1,k]+D_old[k,v2] )    
        print_frame(D,D_old,k)                
    return D

Содержание

1 Трассировка алгоритма

Трассировка алгоритма

Входной граф

Итерация 1

Итерация 2

Итерация 3

Итерация 4

Итерация 5

Итерация 6

Любые правки этой статьи будут перезаписаны при следующем сеансе репликации. Если у вас есть серьезное замечание по тексту статьи, запишите его в раздел «discussion».

Репликация: База Знаний «Заказных Информ Систем» → «Алгоритм Флойда-Уоршолла»

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 [[Поиск кратчайших путей в графе]]. В отличие от [[алгоритм Дейкстры|алгоритма Дейкстры]], он находит все кратчайшие пути в графе, к тому же, допускает наличие отрицательных весов (расстояний) на ребрах графа, при условии, что в графе не образуется циклов отрицательной длины (т. е. невозможно бесконечно уменьшать расстояние между некоторыми пунктами).
-В этом алгоритме, для графа <math>G=(V,E)</math> последовательно выполняются <math>n=|V|</math> итераций, улучшая матрицу <math>D_{ij}</math> минимальных стоимостей пути из вершины ''i'' в вершину ''j'', с возможным использованием (для ''k''-той итерации) промежуточных вершин из множества <math>1,\dots,k</math>. Вычислять эту матрицу очень легко, изначально она определяется весовой функцией ребер, <math>D^0_{ij}=w_{ij}</math>, для тех ''i'' и ''j'', для которых есть ребро ''(i,j)'', и <math>+\infty</math> для остальных.
+В этом алгоритме, для графа <m>G=(V,E)</m> последовательно выполняются <m>n=|V|</m> итераций, улучшая матрицу <m>D_{ij}</m> минимальных стоимостей пути из вершины ''i'' в вершину ''j'', с возможным использованием (для ''k''-той итерации) промежуточных вершин из множества <m>1,\dots,k</m>. Вычислять эту матрицу очень легко, изначально она определяется весовой функцией ребер, <m>D^0_{ij}=w_{ij}</m>, для тех ''i'' и ''j'', для которых есть ребро ''(i,j)'', и <m>+\infty</m> для остальных.
 Обновление этой матрицы на ''k''-той итерации происходит по очевидной формуле:
-<math>D^k_{ij}=min(D^{k-1}_{ij},D^{k-1}_{ik}+D^{k-1}_{kj})</math>, где <math>D^{k-1}</math> — значение этой матрицы на предыдущей итерации.
+<m>D^k_{ij}=min(D^{k-1}_{ij},D^{k-1}_{ik}+D^{k-1}_{kj})</m>, где <m>D^{k-1}</m> — значение этой матрицы на предыдущей итерации.
-Таким образом, очевидна и корректность алгоритма, и его сложность, состовляющая <math>O(n^3)</math>.
+Таким образом, очевидна и корректность алгоритма, и его сложность, состовляющая <m>O(n^3)</m>.
 <code-python>