Методы динамического программирования дают возможность построить для задачи о рюкзаке псевдополиномиальные алгоритмы, использующие при своей работе массивы, превышающие (возможно экспоненциально) длину входных данных.
Например, следующий алгоритм использует хранение наилучших частичных решений-наборов, в хэш-таблице, т. е. для каждого веса, если существует набор с таким весом, храниться максимальная стоимость.
Стартовав с пустого множества частичных наборов, и добавляя по одному, предметы, в каждый момент мы имеем не более B «лучших» частичных наборов, помещающихся в рюкзак.
В конце остается только выбрать самый дорогой из них.
Таким образом, хотя сложность этого алгоритма — O(nB) является экспоненциальной от длины входа, при ограниченных размерах рюкзака B, алгоритм может быть полезен и эффективен.
Также можно организовать отбор наиболее легких решений, для каждой возможной стоимости набора,
как это сделано в Задача о рюкзаке:PTAS.
Реализация алгоритма на Python и пример его выполнения:
def knapsack_dylp(A,B,C):
print "A=",A,"B=",B,"C=",C
T={0:0} #Хэш: самая большая стоимость набора для веса - {вес:стоимость}
Solution={0:[]}
#Цикл по всем предметам $\frac{c_i}{a_i}$
for i in range(0,len(A)):
print C[i],"/",A[i],":",
T_old=dict(T) #Копируем $T_{k-1}$ в $T_{old}$
print T
#Цикл по всем полученным частичным суммам
for x in T_old:
if (x+A[i])<=B:
if (not T.has_key(x+A[i])) or (T[x+A[i]]<T_old[x]+C[i]):
T[x+A[i]]=T_old[x]+C[i]
Solution[x+A[i]]=Solution[x]+[i]
print " -->",T
ResultCost = max(T.values())
Result = Solution[argmax(T)]
print Result,":",ResultCost
return (Result,ResultCost)
A= [6, 3, 2, 5, 5, 1] B= 10 C= [3, 4, 5, 6, 7, 8]
3 / 6 : {0: 0}
--> {0: 0, 6: 3}
4 / 3 : {0: 0, 6: 3}
--> {0: 0, 9: 7, 3: 4, 6: 3}
5 / 2 : {0: 0, 9: 7, 3: 4, 6: 3}
--> {0: 0, 2: 5, 3: 4, 5: 9, 6: 3, 8: 8, 9: 7}
6 / 5 : {0: 0, 2: 5, 3: 4, 5: 9, 6: 3, 8: 8, 9: 7}
--> {0: 0, 2: 5, 3: 4, 5: 9, 6: 3, 7: 11, 8: 10, 9: 7, 10: 15}
7 / 5 : {0: 0, 2: 5, 3: 4, 5: 9, 6: 3, 7: 11, 8: 10, 9: 7, 10: 15}
--> {0: 0, 2: 5, 3: 4, 5: 9, 6: 3, 7: 12, 8: 11, 9: 7, 10: 16}
8 / 1 : {0: 0, 2: 5, 3: 4, 5: 9, 6: 3, 7: 12, 8: 11, 9: 7, 10: 16}
--> {0: 0, 1: 8, 2: 5, 3: 13, 4: 12, 5: 9, 6: 17, 7: 12, 8: 20, 9: 19, 10: 16}
[2, 4, 5] : 20
