Maxima — система компьютерной алгебры, реализованная на языке Lisp.

Maxima имеет широчайший набор средств для проведения аналитических вычислений, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам как Maple и Mathematica. В то же время она обладает высочайшей степенью переносимости. Это единственная из существующих систем аналитических вычислений, которая может работать на всех современных операционных системах, на компьютерах, начиная от самых мощных, заканчивая наладонниками.

Содержание

[убрать]

1 История
2 Введение
3 Внешние ссылки

История

Maxima произошла от системы «Macsyma», разрабатывавшейся в MIT (Massachusetts Institute of Technology) с 1968 по 1982.

Вариант продукта (известный как DOE Macsyma) сопровождался профессором Уильямом Шелтером в Техасском Университете с 1982 до своей смерти в 2001.

В 1998, Шелтер получил от Департамента энергии разрешение опубликовать исходный код DOE Macsyma под лицензией GPL, и в 2000 он создал проект «Maxima» на SourceForge для поддержания и развития «DOE Macsyma», переименованного в Maxima.

Введение

Обзор

Maxima может использоваться как мощный калькулятор:

(%i13) 144*17 - 9;
(%o13) 2439

Maxima поддерживает точные вычисления с большими числами, размер которых ограничен только ресурсами вашего компьютера.

Например, вычислим , а затем возьмем корень 25-степени из результата:

(%i14) 144^25;
(%o14) 910043815000214977332758527534256632492715260325658624
(%i15) %^(1/25);
(%o15) 144

Знак «%» ссылается на специльную переменную, хранящую результат последней операции. Знак «^» — оператор возведения в степень.

Однако основное назначение компьютерной алгебры — не численные вычисления, а скорее, символьные операции. Поиграем с полиномом :

expand((x + 2*y)^4); → 
factor(%);           →

Вычисление производных:

diff(sin(x)*cos(x), x);     → 
trigsimp(%);                → 
diff(%, x);                 → 
diff( sin(x)*cos(x), x, 2); →

и первообразных (неопределенных интегралов):

integrate((x + 1)/(x^3 - 8), x); →

Maxima может преобразовывать тригонометрические выражения в канонические конечные тригонометрические ряды (Fourier sums):

trigreduce (sin(x)^5); →

Первые шаги

Maxima ориентирована на минималистический интерфейс командной строки — т. е. сеанс работы состоит из последовательных команд пользователя и полученных на них ответов.

Команда — это некое выражение, возможно многострочное, оканчивающееся точкой с запятой «;». Например на команду:

(%i1) 14*(7 + 3);

будет получен ответ:

(%o1)  140

Если вы забудете ввести «;» — Maxima будет терпеливо (т. е. без каких-либо сообщений об ошибках) продолжать ввод ввод, пока вы ее не введете «;».

Можно вместо точки с запятой завершить команду знаком доллара «$», тогда вывод этой команды будет заглушён, то есть, команда будет обработана и результат будет вычислен, но не выведен на экран.

Введем какое-нибудь выражение с переменной:

(%i2) (x + 2)*(x - 3);

Ответ Maxima содержит то же выражение, в неупрощенной форме:

(%o2)  (x - 3) (x + 2)

Maxima выдает выражение-результаты, используя минималистические средства — текстовую отрисовку формул. Так в ответе «(%o2)» мы видим, что за счет исключения «*» из ответа, выражение выглядит «математическим», а не программистким.

Теперь раскроем скобки:

(%i3) expand(%);
				   2
(%o3) 				  x  - x - 6

Т.е. человек вполне способен прочесть эту ASCII-формулу, однако, есть возможность получить эту формулу (c помощью функции «tex») в формате TeX:

(%i38) tex( expand( (x + 2)*(x - 3) ) );
$x^2-x-6$
(%o38) false

Что, если отрисовать через TeX будет выглядеть так: .

Пользуясь этой возможностью, далее в этом введении, все математические формулы, получаемые от Maxima мы будем отрисовывать через TeX, что будет гораздо удобней для чтения, чем ASCII-графика, особенно в случае «многоэтажных» формул.

Итак, возведение в степень:

x^3^4;        →

Обратите внимание на приоритет операций: x^3^4 есть

Дифференцирование и интегрирование

Возьмем неопределенный интеграл для :

integrate(x/(x^3 + 1), x);  →

Продифференцируем результат для проверки:

diff(%, x); →

И чтобы, не пугаться, упростим сумму рациональных выражений:

ratsimp(%); →

Повторим тоже самое для :

integrate(exp(a*x)*sin(x)*cos(x), x); → 
 diff(%, x); → 
 ratsimp(%); → 
trigexpand(%); →

Если Maxima не смогла взять интеграл — она возвращает интеграл в «исходной форме»:

(%i4) integrate(1/((x-3)^4+1/2), x);
                        /
                        [      1
(%o4)                   I ------------ dx
                        ]        4   1
                        / (x — 3)  + -
                                     2

Разумеется, в TeX-форматировании интеграл будет выглядеть красивее:

В таком случае, можно помочь системе, выполнив замену переменных:

changevar (%, x - 3 - y ,y ,x); →

а затем проинтегрировав:

ev (%, integrate)

выполним обратную подстановку

sfx: %, y=x-3;

Т.к. подынтегральное выражение — всюду определенная положительная функция, мы можем вычислить определенный интеграл , используя вычисленную первообразную «sfx»:

ratsimp(subst (1, x, sfx) - subst(0, x, sfx));

или переходя к значениям в плавающей арифметике:

float(ratsimp(subst (1, x, sfx) - subst(0, x, sfx))); → 0.028806333852738

Для проверки выполним численное интегрирование методом Ромберга:

romberg(1/((x-3)^4+1/2), x,0, 1); → 0.028806333924554

Результаты аналитического и численного интегрирования совпадают с точностью 1e-10.

Проинтегрируем .

integrate(((6*x^5 + 7*x^4 - 36*x^3 + 18*x - 21)*(x^4 + 1)^(2/3)
       + (2*x^6 - 20*x^4 - 40*x^3 + 18*x^2 + 12)*(x^4 + 1)^(1/3))
        /(3*x^8 +6*x^4 + 3), x);

Осталось «сократить» экспоненты с логарифмами, перейдя к каноническому радикалу:

radcan(%);

Решение полиномов

Нахождение нулей у полиномов от одной переменной — задача известная со школы. Поиграем с ней для демонстрации некоторых возможностей Maxima. Определим переменную poly:

poly: x^2 - x - 12; →

Вычислим нули, используя функцию «solve»:

solutions: solve (poly=0, x); → [ x=-3, x=4 ]

Мы получили ответ в виде двух равенств (с левыми и правыми частями) — если их преобразовать в множители, то мы должны получить исходный полином, в виде их произведения.

Воспользуемся механизмом лямбда-функций (по сути, безымянных функций). Лямбда функция

lambda ([eq], lhs(eq) - rhs(eq))

очевидным образом преобразует выражение-равенство, в множитель, равный нулю в точке равенства. Итак, применим функцию «map», применяющую нашу лямбда-функцию для всех элементов нашего списка уравнений:

map( lambda( [eq], lhs(eq) - rhs(eq)), solutions); → [x+3,x-4]

Перемножим этот список:

apply("*", %); → (x-4)(x+3)

И, раскрыв скобки, получаем исходный полином:

expand(%); →

Тригонометрические преобразования

Чтобы преобразовать произведения синусов-косинусов, в триногометрический ряд Фурье, используется функция «trigreduce»:

trigreduce(sin(x)^3*cos(x)); →

Теперь избавимся от произведений в аргументах тригонометрических функций:

trigexpand(%); →

И наконец, упрощаем выражение, используя функцию «trigsimp», знающую тождество :

trigsimp(%); →

Упрощение тригонометрических выражений не всегда получается просто и быстро, как в приведенном примере, и в почтовых рассылках часто раздаются вопросы, «как мне упростить XXX?» или «почему Maxima не упрощает YYY?».

Рассмотрим пример:

result:integrate(9/cos(7*x)^2, x); →

А пользуясь любым матсправочником с таблицей основных первообразных (например, справочником Бронштейна-Семендяева), легко получить более красивый результат: .

Попробуем упростить «влоб»:

simp1: trigsimp(result); →

Но применять дальше «trigexpand», для раскрытия sin(14*x) и cos(14*x) через sin(x) и cos(x) бесполезно — выражение сильно усложнится. Надо бы выразить sin(14*x) и cos(14*x) через sin(7*x) и cos(7*x), а для этого надо сделать подстановку, заменив 14*x на 2*y.

simp2: simp1, 14*x=2*y; →

И далее:

trigexpand(simp2); → 
trigsimp(%);       →

и наконец:

trigreduce(%);     →

возвращаемся к исходным переменным:

%, y = 7*x;        →

Итак, мы показали на примере этой задачки, как важно использовать подстановки переменных при упрощении через «trigexpand». А вообще, это выражение можно было упростить одним действием:

trigrat(result);   → 
trigreduce(%);     →

Проверим результат интегрирования:

deriv: diff(result, x);
trigrat(deriv);    →

Выглядит просто, но чтобы сравнить с исходным выражением, надо выразить всю «тригонометрию» через 7x.

%, 14*x = 2*y;   → 
trigexpand(%);   → 
trigsimp(%);     → 
%, y = 7*x;      →

Итак, напомним еще раз назначение рассмотренных функций:

trigreduce: преобразует тригонометрическое выражение как сумма слагаемых, каждое из которых содержит один синус или косинус.
trigexpand: «раскрывает» аргументы тригонометрических функций, согласно правилам тригонометрических функций от суммы углов.
trigsimp: упрощает тригонометрическое выражение, используя тождество .
trigrat: мощная функция — упрощение рационального тригонометрического выражения.

Разложение на простые дроби: шаг за шагом

Ответы Maxima всегда показывают готовый результат (если, конечно, системе удалось его получить), но не путь его вычисления.

Например, разложение на простые дроби выполняется функцией «partfrac»:

partfrac ( 1/(x^2*(x^2 + 1)), x); →

Обычно этого достаточно, ибо полученный результат вполне можно проверить. Однако, иногда требуется получить последовательность вычислений (например, если это часть домашней работы, и проверяющему недостаточно предьявить ответ).

Итак, попробуем вычислить разложение в «полуавтоматическом» (или «полуручном») режиме.

В данном случае, разложение на простые дроби — это сумма следующих элементарных дробей:

p1: a/x;                  →   
p2: b/x^2;                   →   
p3: (c*x + d)/(x^2 + 1);        →

т. е.

p1 + p2 + p3;        →

Приводим к общему знаменателю, и поименуем числитель этой дроби, как «n»:

ratsimp(p1 + p2 + p3); →  
n: num(%);             →

Теперь осталось решить уравнение, «приравняв» числитель исходной дроби и числитель «n»:

 solve ([coeff (n, x, 3) = 0,
         coeff (n, x, 2) = 0,
         coeff (n, x, 1) = 0,      →     [[a=0,b=1,c=0,d=-1]]
         coeff (n, x, 0) = 1],
         [a, b, c, d]);

Наконец, подставляем полученные коэффициенты:

at(p1 + p2 + p3, first(%));       →

Напомним, мы использовали следующие функции:

num: возвращает числитель дроби.
coeff: возвращает коэффициент при переменной в заданной степени.
solve: решает систему линейных уравнений.

Вычисление пределов

Maxima может вычислять пределы для широкого спектра как рациональных, так и трансцедентных функций.

Для рациональных функций, часто интересно посмотреть поведение функции на бесконечности:

limit ((x^2 - 1)/(x^2 + 1), x, inf); →

Можно раскрыть и предел типа «0/0»:

limit ((x^2 + x - 6)/(x^4 + x^3 - 19*x^2 + 11*x + 30), x, 2); →

Maxima умеет вычислять пределы «справа» и «слева», и честно сообщает, когда предел в заданной точке не определен:

limit (tan(x), x, %pi/2, plus);   →  minf      
limit (tan(x), x, %pi/2, minus);  →  inf       
limit (tan(x), x, %pi/2); → und

Вычисление рядов — конечных и бесконечных

Конечные суммы считаются сразу:

sum(i, i, 1, 100); → 5050

Но бесконечные ряды, по умолчанию не суммируются, выражение остается в исходном символьном виде:

sum1:sum(1/x^2, x, 1, inf); →  
sum2:sum(1/x^2, x, 1, inf); →

Чтобы выполнить суммирование, нужно указать опцию «simpsum=true»:

sum(1/x^2, x, 1, inf), simpsum=true; →

Впрочем, над «непросуммированными суммами» можно выполнять операции, только операторы суммирования не будут сокращаться:

sum1+sum2; →

Для сокращения сумм, нужно использовать функцию «sumcontract»:

sc:sumcontract(sum1+sum2); →

Версия 5.9.3. содержит баг 1517061

Далее, можно просуммировать, как мы уже делали выше:

ev (sc, simpsum=true); →

Внешние ссылки

Домашняя страница Maxima
Maxima в Википедии.
Вадим Житников-Компьютеры, математика и свобода
Maxima – максимум свободы символьных вычислений
Maxima: максимум удобства и функциональности
WxMaxima — оконный интерфейс к Maxima.
GNU TeXmacs - набор маттекстов в TeX, с плагинами доступа к различным CAS-системам, типа Axiom, Reduce, и в частности Maxima.

Любые правки этой статьи будут перезаписаны при следующем сеансе репликации. Если у вас есть серьезное замечание по тексту статьи, запишите его в раздел «discussion».

Репликация: База Знаний «Заказных Информ Систем» → «Maxima»